Muelle (Ley de Hooke) con rozamiento

Esta animación muestra el comportamiento de un objeto atado a un muelle. Por simplicidad, estamos suponiendo que el objeto es puntual, aunque en la animación lo estamos dibujando como una caja. El objeto reposa sobre una superficie horizontal con la que presenta rozamiento. La fuerza de rozamiento tiene siempre un sentido opuesto al de la velocidad del objeto.

En este caso, no hay movimiento a lo largo del eje Y, solo en el eje X. La ecuación del movimiento de este objeto en la fase en la que el objeto se acerca a la pared es:

\"{x}=-\frac{k}{m}(x-L)+\mu g

Válido para: \.{x} < 0

Donde:

  • x es la coordenada horizontal del objeto, tomada positiva hacia la derecha y con origen en el borde izquierdo de la ventana.
  • \.{x}\equiv\frac{\text{d}x}{\text{d}t} es la primera derivada de x respecto del tiempo, es decir, la velocidad.
  • \"{x}\equiv\frac{\text{d}^2x}{\text{d}t^2} es la segunda derivada de x respecto del tiempo, es decir, la aceleración.
  • m es la masa del objeto.
  • k es la constante de rigidez del muelle.
  • L es la longitud natural o de equilibrio del muelle.
  • g es la gravedad (9,8\,\text{m}/\text{s}^2).
  • \mu es el coeficiente de rozamiento entre el objeto y la superficie horizontal.
  • t es el tiempo.

Por otro lado, cuando el objeto se aleja de la pared, tenemos:

\"{x}=-\frac{k}{m}(x-L)-\mu g

Válido para: \.{x} > 0

De manera unificada, podemos escribir la ecuación de movimiento como:

\"{x}=-\frac{k}{m}(x-L)-\mu s g

s=\text{signo}(\.{x})

Estamos suponiendo que sí hay rozamiento entre el objeto y la superficie horizontal, pero no resistencia del aire al movimiento ni empuje del aire. Por otro lado, consideramos que tanto el muelle como el enganche con el objeto tienen masa despreciable. Se trata, por tanto, de un movimiento armónico amortiguado, de forma que el objeto tenderá a perder energía y pararse debido al rozamiento.

Mueve el ratón para estirar o encoger el muelle. Pulsa cualquier botón del ratón para soltar el objeto (sin velocidad inicial). El triángulo marca la longitud de equilibrio del muelle.

Para reiniciar la animación, vuelve a pulsar cualquier botón del ratón.


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