En esta página se muestra una animación de una pelota que se suelta sin velocidad inicial a una cierta altura del suelto y cae por la acción de la gravedad hasta rebotar en el suelo. Para ello se han utilizado diversos métodos de integración.
Coloquemos los ejes coordenados con X apuntando hacia la derecha, Y apuntando hacia arriba y el origen de coordenadas en la esquina inferior izquierda. Llamando y a la posición vertical del centro de la pelota respecto del suelo, y siendo v su velocidad, la ecuación del movimiento es simplemente:
\"{y}=-g
Esta ecuación diferencial de orden 2 puede reescribirse como el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales de orden 1:
\.{v}=-g
\.{y}=v
Hemos usado la notación habitual \.{x}\equiv \frac{\text{d}x}{\text{d}t} para representar la primera derivada respecto del tiempo y \"{x}\equiv \frac{\text{d}^2x}{\text{d}t^2} para la segunda derivada respecto del tiempo.
Para resolver este problema de valores iniciales conocidos y_0 y v_0=0, con un paso de integración h, hemos usado los siguientes métodos, donde n=0, 1, 2, 3...:
- Euler explícito:
v_{n+1}=v_n-h g
y_{n+1}=y_n+h v_n
- Euler simpléctico:
v_{n+1}=v_n-h g
y_{n+1}=y_n+h v_{n+1}
- Punto medio:
v_{n+\frac{1}{2}}=v_n-\frac{h}{2} g
v_{n+1}=v_n-h g
y_{n+1}=y_n+h v_{n+\frac{1}{2}}
- Verlet:
y_{n+2}=2y_{n+1}-y_n-h^2 g
y_1=y_0-\frac{1}{2}gh^2
- Runge-Kutta 4:
v_{n+1}=v_n-h g
y_{n+1}=y_n+\frac{h}{6}(k_1+2k_2+2k_3+k_4)
k_1=v_n
k_2=v_{n+\frac{1}{2}}=v_n-\frac{h}{2}g
k_3=k_2
k_4=v_{n+1}
- Y los hemos comparado con la solución analítica:
y=y_0 - \frac{1}{2}gt^2
Estamos suponiendo que no hay resistencia del aire al movimiento ni empuje del aire. Tampoco hay pérdidas de energía en los rebotes contra el suelo. Sin embargo, nótese cómo los métodos de Euler explícito y simpléctico sufren un efecto colateral debido al cambio de signo que se introduce en la velocidad en el rebote contra el suelo.