Máquina de Atwood

Esta animación muestra dos máquinas de Atwood, formadas cada una por una polea, un cable y dos masas conectadas por el mismo. En la polea de la izquierda no se produce giro, pero sí en la polea de la derecha. Como consecuencia, la aceleración que experimentan los cuerpos en este segundo caso es menor que en la polea izquierda.

Pulsa cualquier botón del ratón para poner en marcha la animación.

Las ecuaciones del movimiento para los objetos de la polea que no gira son:

m_1\frac{d^2y_1}{dt^2}=T_1-m_1 g

m_2\frac{d^2y_2}{dt^2}=T_2-m_2 g

T_1=T_2

\frac{d^2y_1}{dt^2}=-\frac{d^2y_2}{dt^2}

Lo cual da lugar a la siguiente aceleración de los cuerpos:

\frac{d^2y_1}{dt^2}=\frac{m_2-m_1}{m_2+m_1} g

Por otro lado, las ecuaciones del movimiento para los objetos de la polea que sí gira son:

m_1\frac{d^2y_1}{dt^2}=T_1-m_1 g

m_2\frac{d^2y_2}{dt^2}=T_2-m_2 g

I \frac{d^2\theta}{dt^2}=(T_2 - T_1) R

I = \frac{1}{2}m_{polea}R^2

y_1=R\theta

\frac{d^2y_1}{dt^2}=-\frac{d^2y_2}{dt^2}

Lo cual da lugar a la siguiente aceleración de los cuerpos:

\frac{d^2y_1}{dt^2}=\frac{m_2-m_1}{m_2+m_1+\frac{1}{2}m_{polea}} g

Donde:

  • y_1 es la coordenada vertical del cuerpo 1 (el que sube), considerando el sentido positivo hacia arriba y origen de coordenadas en la posición inicial de este cuerpo.
  • y_2 es la coordenada vertical del cuerpo 2 (el que cae).
  • m_1 es la masa del cuerpo 1.
  • m_2 es la masa del cuerpo 2.
  • g es la gravedad.
  • T_1 es la tensión de la cuerda que tira hacia arriba del cuerpo 1.
  • T_2 es la tensión de la cuerda que tira hacia arriba del cuerpo 2.
  • m_{polea} es la masa de la polea.
  • R es el radio de la polea.
  • I es el momento de inercia de la polea (disco) al girar respecto de un eje de rotación perpendicular a la misma y que pasa por su centro.
  • \theta es el ángulo girado por la polea.
  • t es el tiempo.
  • \frac{d^2}{dt^2} es el símbolo de derivada segunda respecto del tiempo (aceleración).

Para reiniciar la animación, vuelve a pulsar cualquier botón del ratón.


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