Esta animación muestra el caso de un péndulo-muelle múltiple bidimensional, es decir, tenemos varios cuerpos conectados mediante muelles de masa despreciable, de forma que todos ellos cuelgan de un punto fijo del techo. Todos los cuerpos pueden oscilar en el plano XY.
Por simplicidad, consideraremos que las masas de todos los cuerpos son iguales (m) y que las constantes de rigidez de todos los muelles también lo son (k), con la misma longitud natural o de reposo (L).
Llamemos n al número total de masas, de forma que están numeradas de 1 a n. Podemos pensar que la masa 0 es el punto de enganche del techo del que cuelga todo el conjunto y que siempre permanece en la misma posición. Habrá un total de n muelles, numerados de 0 a n-1, de forma que el muelle i conecta las masas i e i+1. El vector unitario que marca la orientación del muelle i y que apunta desde la masa i hasta la i+1 sería:
\vec{u}_i=\frac{\vec{r}_{i+1}-\vec{r}_i}{|\vec{r}_{i+1}-\vec{r}_i|}
Donde:
- \vec{r}_i\equiv x_i \vec{i}+ y_i \vec{j} es el vector de posición de la masa i. Por conveniencia, elegimos el origen de coordenadas en el punto de enganche del techo, con el eje X hacia la derecha y el eje Y hacia abajo.
- \vec{r}_{i+1}\equiv x_{i+1} \vec{i}+ y_{i+1} \vec{j} es el vector de posición de la masa i+1.
- \vec{i} es el vector unitario del eje X.
- \vec{j} es el vector unitario del eje Y.
- |\cdot| representa la magnitud de un vector.
La longitud instantánea del muelle i es precisamente:
L_i=|\vec{r}_{i+1}-\vec{r}_i|
La ecuación de movimiento para el cuerpo i (1 \le i \lt n) sería:
\"{\vec{r}}_i=g \vec{j} - \frac{k}{m}(L_{i-1}-L)\vec{u}_{i-1} + \frac{k}{m}(L_i-L)\vec{u}_{i}
Por su parte, la ecuación de movimiento para el cuerpo del extremo (i=n) sería:
\"{\vec{r}}_n=g \vec{j} - \frac{k}{m}(L_{n-1}-L)\vec{u}_{n-1}
En estas ecuaciones tenemos el efecto de la fuerza de la gravedad, orientada en el sentido que hemos elegido como positivo para el eje Y. A continuación, tenemos la fuerza de Hooke debido al muelle del que cuelga la masa i, que está orientado en el sentido contrario al del vector unitario \vec{u}_{i-1}. Y para todas las masas, excepto para la del extremo, está el efecto de una segunda fuerza de Hooke debido al muelle que cuelga de dicha masa, en este caso, orientada en el sentido del vector unitario \vec{u}_{i}.
Para dar más realismo a la animación, conviene añadir fuerzas de rozamiento que frenan el movimiento de los muelles. Consideraremos de dos tipos:
- Por un lado, para la masa i, añadiremos un primer tipo de fuerza viscosa proporcional a la velocidad de la masa, pero de sentido contrario, es decir:
\vec{F}_{\text{roz}_1}=-d_1 \.{\vec{r}}_i
donde la constante de proporcionalidad es d_1.
- Por otro lado, para cada muelle, para frenar las rotaciones, añadiremos una segunda fuerza viscosa proporcional a la proyección sobre la dirección del muelle de la velocidad relativa de la masa de un extremo del muelle respecto de la otra. Particularizado para el muelle i-1, recordemos que las masas de sus extremos son la i-1 y la i, tal que las fuerzas sobre ellas debidas a este segundo rozamiento serían:
\vec{F}_{\text{roz}_{2,i}}=-d_2 \Big(\vec{u}_{i-1} \cdot (\.{\vec{r}}_i - \.{\vec{r}}_{i-1})\Big) \vec{u}_{i-1}
\vec{F}_{\text{roz}_{2,i-1}}=d_2 \Big(\vec{u}_{i-1} \cdot (\.{\vec{r}}_i - \.{\vec{r}}_{i-1})\Big) \vec{u}_{i-1}
donde ahora la constante de proporcionalidad es d_2.
Teniendo en cuenta estos rozamientos, las ecuaciones de movimiento definitivas son las siguientes. Para el cuerpo i (1 \le i \lt n):
\"{\vec{r}}_i=g \vec{j} - \frac{k}{m}(L_{i-1}-L)\vec{u}_{i-1} + \frac{k}{m}(L_i-L)\vec{u}_{i} -\frac{d_1}{m} \.{\vec{r}}_i - \frac{d_2}{m} \Big(\vec{u}_{i-1} \cdot (\.{\vec{r}}_i - \.{\vec{r}}_{i-1})\Big) \vec{u}_{i-1} + \frac{d_2}{m} \Big(\vec{u}_{i} \cdot (\.{\vec{r}}_{i+1} - \.{\vec{r}}_i)\Big) \vec{u}_i
Para el cuerpo del extremo (i=n):
\"{\vec{r}}_n=g \vec{j} - \frac{k}{m}(L_{n-1}-L)\vec{u}_{n-1} -\frac{d_1}{m} \.{\vec{r}}_n - \frac{d_2}{m} \Big(\vec{u}_{n-1} \cdot (\.{\vec{r}}_n - \.{\vec{r}}_{n-1})\Big) \vec{u}_{n-1}
Mueve el ratón para definir la configuración inicial de los cuerpos y las masas. Por simplicidad, consideraremos que todos los cuerpos forman una recta perfecta desde el punto del enganche hasta la posición actual del ratón. Haz clic en algún botón del ratón para arrancar la animación, donde todos los cuerpos se sueltan sin velocidad inicial. Haz clic de nuevo para pausar o para reanudar la animación.