Máquina de Atwood

Esta animación muestra dos máquinas de Atwood, formadas cada una por una polea, un cable inextensible y dos masas conectadas por el mismo. En la polea de la izquierda no se produce giro, pero sí en la polea de la derecha. Como consecuencia, la aceleración que experimentan los cuerpos en este segundo caso es menor que en la polea izquierda.

Las ecuaciones del movimiento para los objetos de la polea que no gira son:

m_1\"{y}_1=T_1-m_1 g

m_2\"{y}_2=T_2-m_2 g

T_1=T_2

\"{y}_1=-\"{y}_2

Lo cual da lugar a la siguiente aceleración de los cuerpos:

\"{y}_1=\frac{m_2-m_1}{m_2+m_1} g=\text{constante}

Por otro lado, las ecuaciones del movimiento para los objetos de la polea que sí gira son:

m_1\"{y}_1=T_1-m_1 g

m_2\"{y}_2=T_2-m_2 g

I \"{\theta}=(T_2 - T_1) R

I = \frac{1}{2}m_{\text{polea}}R^2

y_1=R\theta

\"{y}_1=-\"{y}_2

Lo cual da lugar a la siguiente aceleración de los cuerpos:

\"{y}_1=\frac{m_2-m_1}{m_2+m_1+\frac{1}{2}m_{\text{polea}}} g=\text{constante}

Donde:

  • y_1 es la coordenada vertical del cuerpo 1 (el que sube), considerando el sentido positivo hacia arriba y origen de coordenadas en el suelo.
  • \"{y}_1\equiv\frac{\text{d}^2y_1}{\text{d}t^2} es la derivada segunda de y_1 respecto del tiempo, es decir, la aceleración del cuerpo 1.
  • y_2 es la coordenada vertical del cuerpo 2 (el que cae), considerando el sentido positivo hacia arriba y origen de coordenadas en el suelo.
  • \"{y}_2\equiv\frac{\text{d}^2y_2}{\text{d}t^2} es la derivada segunda de y_2 respecto del tiempo, es decir, la aceleración del cuerpo 2.
  • m_1 es la masa del cuerpo 1.
  • m_2 es la masa del cuerpo 2.
  • g es la gravedad (9,8\,\text{m/s}^2).
  • T_1 es la tensión de la cuerda que tira hacia arriba del cuerpo 1.
  • T_2 es la tensión de la cuerda que tira hacia arriba del cuerpo 2.
  • m_{\text{polea}} es la masa de la polea.
  • R es el radio de la polea.
  • I es el momento de inercia de la polea (disco) al girar respecto de un eje de rotación perpendicular a la misma y que pasa por su centro.
  • \theta es el ángulo girado por la polea.
  • t es el tiempo.

En ambos casos, se obtiene un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, si bien la aceleración es menor en el caso del sistema en el que gira la polea.

Para reiniciar la animación, pulsa cualquier botón del ratón.


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