Juego de misiles (tiro parabólico)

Se llama tiro parabólico al lanzamiento de un objeto de manera oblicua en un entorno de gravedad constante, como puede ser la zona cercana a la superficie de la Tierra. Si despreciamos la resistencia del aire y consideramos que tampoco sopla el viento, solamente tenemos una fuerza que controla el movimiento del cuerpo lanzado: la gravedad.

El movimiento será en un plano vertical y de esta forma colocaremos los ejes de coordenadas: el eje X será paralelo al suelo y el eje Y apuntará hacia arriba, justo al revés que la gravedad. Si las dimensiones del cañón y del misil son despreciables frente a las del resto del problema, podemos suponer que ambos son puntuales. De esta manera, el origen de coordenadas estará situado justo en el suelo y precisamente ahí se producirá el lanzamiento con una cierta velocidad inicial v_0 y un cierto ángulo \alpha.

Al tratarse de un movimiento en 2 dimensiones, la posición, la velocidad y la aceleración del misil son vectores. Llamaremos \vec{i} al vector unitario del eje X y \vec{j} al del eje Y.

Veamos cuáles son las ecuaciones de movimiento. Comenzando por la aceleración, solamente hay componente vertical, debida a la gravedad g. Como hemos elegido el eje Y apuntando hacia arriba, aparece un signo menos que no debemos olvidar. Por el contrario, no hay aceleración en el eje X.

Aplicando la segunda ley de Newton, \vec{F}=m\vec{a}, se obtiene:

\vec{a}=a_x \vec{i} + a_y \vec{j} = \frac{\vec{F}}{m}=\frac{\vec{P}}{m}=\frac{-mg \vec{j}}{m}=-g \vec{j}

a_x = 0

a_y = -g

donde:

  • \vec{a} es el vector aceleración, con componentes a_x y a_y.
  • \vec{F} es la fuerza ejercida sobre el objeto lanzado.
  • \vec{P}=-mg\vec{j} es el peso del objeto.
  • m es la masa del objeto.
  • g es la aceleración de la gravedad, que en la superficie de la Tierra vale 9,8 m/s2.

Como puede verse, en el eje X no hay aceleración, luego el movimiento es uniforme, es decir, la componente horizontal de la velocidad del objeto será constante. Por otro lado, en el eje Y la aceleración es constante, luego el movimiento en dicho eje será uniformemente acelerado. La combinación de ambos movimientos producirá una trayectoria con forma parabólica.

Calculemos ahora la velocidad. Como la aceleración es la derivada de la velocidad respecto del tiempo, es decir, \vec{a}=\frac{d\vec{v}}{dt}, se tiene:

\vec{v}=v_x \vec{i} + v_y \vec{j}

v_x=v_{0x}=v_0 \cos\alpha

v_y=v_{0y} - gt = v_0 \sin \alpha - gt

donde:

  • \vec{v} es el vector velocidad, con componentes v_x y v_y.
  • \vec{v_0} es el vector velocidad inicial, es decir, la velocidad del lanzamiento del objeto. Esta velocidad inicial tiene por componentes v_{0x} y v_{0y}.
  • \alpha es el ángulo de lanzamiento respecto de la horizontal.
  • \sin y \cos son las funciones trigonométricas de seno y coseno, respectivamente.
  • t es el tiempo.

Pasemos ahora a ver el vector posición. Como la velocidad es la derivada del vector posición respecto del tiempo, es decir,  \vec{v}=\frac{d\vec{r}}{dt}, se tiene:

\vec{r}=x \vec{i} + y \vec{j}

x=v_0 \cos \alpha \,t

y=v_0 \sin \alpha \,t - \frac{1}{2}g t^2

donde:

  • \vec{r} es el vector posición, con componentes x e y.
  • Hemos supuesto que en el instante inicial el objeto se encuentra en el origen de coordenadas, es decir, en la posición (0,0).

ECUACIÓN DE LA TRAYECTORIA

Las ecuaciones anteriores proporcionan las coordenadas x e y en función de t. Si logramos deshacernos de la dependencia del tiempo, conseguiremos la ecuación de la trayectoria y=y(x). Despejando t de la ecuación de x, obtenemos:

t=\frac{x}{v_0 \cos \alpha}

Sustituyendo este valor en la ecuación de y sale lo siguiente:

y=v_0 \sin \alpha (\frac{x}{v_0 \cos \alpha})  - \frac{1}{2}g (\frac{x}{v_0 \cos \alpha})^2=\tan \alpha \,x - \frac{g}{2 v_0^2 \cos^2 \alpha}{x^2}

Como puede verse, se trata de la ecuación de un polinomio en x de grado 2, lo cual confirma que la trayectoria es una parábola.

 

ALTURA MÁXIMA DEL MISIL:

Podemos calcular fácilmente cuál será la altura máxima que alcanzará el misil. Justo en dicho punto, la coordenada vertical de la velocidad se anula, es decir:

v_y = v_0 \sin \alpha - g t = 0

Esta condición se produce en el siguiente instante de tiempo:

t=\frac{v_0 \sin \alpha}{g}

La altura del misil en dicho instante de tiempo, es decir, la altura máxima de toda la trayectoria, será la siguiente:

y_{max}=v_0 \sin \alpha (\frac{v_0 \sin \alpha}{g}) - \frac{1}{2}g (\frac{v_0 \sin \alpha}{g})^2 = \frac{v_0^2 \sin^2 \alpha}{2g}

 

ALCANCE DEL MISIL:

Supongamos que nos encontramos frente a una montaña de altura h_1 situada a una distancia d_1. Nuestro objetivo se halla al otro lado de la montaña, sobre una planicie de altura h_2 respecto de nuestra posición. La distancia entre la montaña y el objetivo es, a su vez, d_2. Para que el misil impacte contra el objetivo, deben cumplirse dos cosas:

  • Que el misil pase por encima de la montaña, es decir, que y \geq h_1 para x=d_1. Por simplicidad, no estamos teniendo en cuenta la forma de la montaña, solo su altura.
  • Que el objetivo forme parte de la trayectoria del misil, es decir, que y=h_2 para x=d_1+d_2.

Para calcular el alcance del misil, es decir, la coordenada x_{max} del punto de impacto contra el suelo, debemos imponer la condición y=h_2 en la ecuación de la trayectoria, es decir:

h_2=\tan \alpha \,x_{max} - \frac{g}{2 v_0^2 \cos^2 \alpha}{x_{max}^2}

Reordenando términos:

\frac{g}{2 v_0^2 \cos^2 \alpha}x^2 - \tan \alpha \,x + h_2 = 0

Se trata de una ecuación de segundo grado, que puede resolver con la famosa fórmula:

x_{max}=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{\tan\alpha \pm \sqrt{\tan^2 \alpha - 4 \frac{g}{2v_0^2 \cos^2 \alpha}h_2}}{\frac{2g}{2v_0^2 \cos^2 \alpha}}=

=\frac{v_0^2 \sin \alpha \cos \alpha}{g} \pm \frac{v_0^2 \cos \alpha}{g}\sqrt{\sin^2 \alpha - \frac{2g h_2}{v_0^2}}=

=\frac{v_0^2 \cos \alpha}{g} (\sin \alpha \pm \sqrt{\sin^2 \alpha - \frac{2gh_2}{v_0^2}})

En esta ecuación habrá que elegir la solución que esté situada al otro lado de la montaña, es decir, x>d_1.

Obviamente si h_2=0 (el objetivo está al mismo nivel que el cañón de lanzamiento), se obtiene la ecuación simplificada siguiente para el valor del alcance:

x_{max}=\frac{2\sin \alpha \cos \alpha \,v_0^2}{g} = \frac{\sin 2\alpha \,v_0^2}{g}

donde se ha utilizado la ecuación del seno del ángulo doble, es decir, \sin 2\alpha=2 \sin \alpha \cos \alpha, para compactar un poco más el resultado.

FUNCIONAMIENTO DEL JUEGO:

Apunta el cañón y dispara a la casa, en la que se refugian unos malvados terroristas. Deberás escoger  bien el ángulo para poder sortear la montaña.

(Juego a falta de la detección de las colisiones con la montaña o el suelo).


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