Esta animación muestra un objeto con forma de disco que cae por un plano inclinado. El rozamiento con el plano produce que el disco gire sin deslizar.
Las ecuaciones del movimiento de este objeto son:
m \"{x}=m g\,\text{sen}\,\alpha -F_{\text{R}}
I \"{\theta}=F_{\text{R}} R
I=\frac{1}{2}m R^2
x=R\theta
Donde:
- x es la coordenada del centro del disco, medida en la dirección paralela al plano, con sentido positivo hacia abajo del mismo y origen en la posición inicial del objeto.
- \"{x}\equiv\frac{\text{d}^2x}{\text{d}t^2} es la derivada segunda de x respecto del tiempo, es decir, la aceleración del centro del disco.
- \theta es el ángulo girado por el disco en su movimiento. Vale 0 en la posición inicial del objeto y su sentido positivo es el antihorario, es decir, cuando el objeto cae por el plano.
- \"{\theta}\equiv\frac{\text{d}^2\theta}{\text{d}t^2} es la derivada segunda de \theta respecto del tiempo, es decir, la aceleración angular del disco.
- \alpha es el ángulo de inclinación del plano respecto de la horizontal.
- g es la gravedad (9,8\,\text{m/s}^2).
- I es el momento de inercia del disco al girar respecto de un eje de rotación perpendicular al mismo y que pasa por su centro.
- m es la masa del disco.
- R es el radio del disco.
- F_{\text{R}} es la fuerza de rozamiento que hace girar el disco sin deslizar.
- \text{sen} es la función trigonométrica seno.
- t es el tiempo.
Operando con las ecuaciones anteriores, se obtiene la relación entre la aceleración angular y la lineal:
\"{x}=R\"{\theta} \implies \"{\theta}=\frac{\"{x}}{R}
Sustituyendo en la ecuación del momento de inercia:
I\frac{\"{x}}{R}=F_{\text{R}}R \implies F_{\text{R}}=I\frac{\"{x}}{R^2}=\frac{1}{2}mR^2\frac{\"{x}}{R^2}=\frac{1}{2}m\"{x}
Por último, sustituyendo en la ecuación de la aceleración lineal:
m\"{x}=mg\,\text{sen}\,\alpha-\frac{1}{2}m\"{x}
Simplificando la masa:
\"{x}=g\,\text{sen}\,\alpha-\frac{1}{2}\"{x}
\frac{3}{2}\"{x}=g\,\text{sen}\,\alpha
\"{x}=\frac{2}{3}g\,\text{sen}\,\alpha=\text{constante}
Por tanto, el centro del disco sigue un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, si bien esta aceleración es menor que la que se obtiene en el caso de un objeto puntual (sin rotación).
Mueve el ratón para ajustar el ángulo del plano inclinado. Cuando sea de tu gusto, pulsa cualquier botón del ratón para poner en marcha la animación. El objeto se detendrá al llegar al punto más bajo del plano.
Para reiniciar la animación, vuelve a pulsar cualquier botón del ratón.