Esta animación muestra una pelota que se suelta desde cierta altura y cae bajo la acción de la gravedad. La pelota rebota al chocar con el suelo e invierte su velocidad hasta regresar a la posición desde la cual la lanzamos. Este movimiento se repite indefinidamente si no hay pérdidas de energía.
En este caso, no hay movimiento a lo largo del eje X, solo en el eje Y. La ecuación del movimiento de este objeto en la caída es:
\"{y}=-g
Integrando esta ecuación, resulta:
\.{y}=-gt
y=y_0 - \frac{1}{2}gt^2
Donde:
- y es la coordenada vertical de la pelota, tomada positiva hacia arriba y con origen en el suelo.
- \.{y}\equiv\frac{\text{d}y}{\text{d}t} es la primera derivada de y respecto del tiempo, es decir, la velocidad.
- \"{y}\equiv\frac{\text{d}^2y}{\text{d}t^2} es la segunda derivada de y respecto del tiempo, es decir, la aceleración.
- y_0 es la altura inicial desde la cual se deja caer el objeto.
- g es la gravedad (9,8\,\text{m}/\text{s}^2).
- t es el tiempo.
Estas son las ecuaciones de un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado.
El tiempo que tarda la pelota en llegar al suelo se calcula imponiendo que y=0:
y=y_0 - \frac{1}{2}gt_{\text{suelo}}^2=0 \implies t_{\text{suelo}}=\sqrt{\frac{2y_0}{g}}
La velocidad del impacto contra el suelo sería entonces:
v_{\text{suelo}}=-gt_{\text{suelo}}=-g\sqrt{\frac{2y_0}{g}}=-\sqrt{2y_0g}
El signo menos significa que esta es la velocidad de caída (hemos tomado como sentido positivo hacia arriba).
Por otro lado, cuando se produce el rebote y la pelota sube, reseteamos el tiempo a cero y consideramos que la posición inicial es ahora y_0=0, con velocidad inicial |v_{\text{suelo}}|. La ecuación del movimiento sigue siendo:
\"{y}=-g
Pero ahora la integración da lugar a las siguientes expresiones:
\.{y}=|v_{\text{suelo}}|-gt=\sqrt{2y_0g}-gt
y=|v_{\text{suelo}}|t - \frac{1}{2}gt^2=\sqrt{2y_0g}t-- \frac{1}{2}gt^2
Estamos suponiendo que no hay resistencia del aire al movimiento ni empuje del aire. Tampoco hay pérdidas de energía en los rebotes contra el suelo.